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Zwei Figuren haben sich auf den steilsten Weg in der Mallandschaft begeben. Sie sind unterschiedlich weit gekommen. Wo sind sie angelangt?

Die Mallandschaft (Peter Gallin)

"Die Mallandschaft besteht aus 81 Holzquadern mit je einer Grundfläche von 3cm x 3cm und den Höhen von 0.6cm bis 48.6cm, welche den Resultaten aller Einmaleins-Rechnungen von 1x1 bis 9x9 entsprechen. Eine Grundplatte mit Rand erlaubt es, die Holzquader schön ausgerichtet aufzustellen. Dabei entstehen 9 parallel nebeneinander stehende Treppen, welche den sogenannten Einmaleins-Reihen entsprechen. Von selbst ergeben sich nochmals 9 Treppen die senkrecht zu den ersten 9 Treppen verlaufen. So entsteht die Mallandschaft, in der verschiedenartige Bewegungen möglich sind, die alle dem autonomen Lernen und flexiblen Handhaben des Einmaleins in der zweiten und dritten Primarschulklasse dienen. Die Holzquader können in zwei mitgelieferten Kartonbehältern übersichtlich eingeräumt und zusammen mit der Grundplatte in einem Kunststoffkoffer verpackt werden. Einige Aufgaben und Aufträge zur Mallandschaft finden sich im Lehrmittel "ich du wir 1 2 3" des Lehrmittelverlags des Kantons Zürich.

Die Lernziele
- Das Multiplizieren zweier einstelliger Zahlen soll zu einer selbstverständlichen Tätigkeit werden, die nie Selbstzweck bleibt, sondern zum Klären von bestimmten Fragestellungen und zum Entdecken von Gesetzmässigkeiten notwendig ist.
- Durch das Nebeneinanderstehen der Einmaleins-Reihen sollen die Bezüge der Multiplikationsergebnisse und ihren Faktoren kreuz und quer erkennbar werden. Von der eindimensionalen Beschränkung auf eine bestimmte Reihe wird zu einer zweidimensionalen Beweglichkeit in der Mallandschaft aufgestiegen.
- Die Holzquader sind nicht angeschrieben und bieten deshalb neben dem Berechnen eines Produktes vor allem die Gelegenheit das höherstehende Faktorisieren, d.h. das Bestimmen der Faktoren bei gegebenem Produkt, zu üben.
- In Partner- oder Gruppenspielen können schliesslich auch Schnelligkeitstests im Faktorisieren durchgeführt werden.
- Die Beschränkung auf die einstelligen Operanden von 1 bis 9 ruft von selbst nach einer gedanklichen Erweiterung der Landschaft, was nichts anderes bedeutet, als das Erzeugen einer mathematischen Vorstellung, die bis zum Multiplizieren von negativen Zahlen reichen kann.
- Aufstellen und Abräumen der Holzquader stellen zwei besondere Tätigkeiten dar, die systematisches Vorgehen und Durchhaltevermögen schulen."

Bei der ML stehen die Treppen mit unterschiedlichen Stufenhöhe unmittelbar nebeneinander. Wie beim Addieren wird Multiplizieren zunächst als anstrengendes Treppensteigen erlebt. Angenehme Umwege (geeignete Termumformungen) für unangenehme Rechnungen gibt es auch hier. Entscheidend ist, dass das Faktorisieren – die höher stehende Tätigkeit als das Ausmultiplizieren – ganz ins Zentrum rückt. Welches war die zugehörige Rechnung, wenn du dich auf einer bestimmten Plattform befindest? Dass die Kinder bei all diesen Bewegungen mit Addieren vertraut werden und beinahe unbemerkt das Einmaleins lernen, versteht sich von selbst (s. auch Steinkamp 2002).

Anmerkung: Hinter der Mallandschaft steht der Graph der Funktion z=x·y, der die Form eines parabolischen Hyperboloids aufweist. Durch die Endlichkeit des dargestellten Bereichs wird die Vorstellung für die Fortsetzung der Landschaft in die Unendlichkeit gleichsam erzwungen. Die Fortsetzung über den Sattelpunkt (0,0,0) hinaus führt zwangslos zur Einsicht, dass Minus mal Minus Plus geben muss. Jeder in der Argument-Ebene (x-y-Ebene) gerade Weg führt zu einer arithmetischen Folge 2. Ordnung in den Multiplikationsresultaten (z-Höhen). Diese »krummen Touren« zeigen durch die parabolische Gestalt die ästhetische Seite der Mallandschaft, welche beispielsweise in der 3. Binomischen Formel (a-x)·(a+x)=a2-x2 gerinnt und in der geometrische Aussage gipfelt, dass unter allen Rechtecken mit konstantem Umfang das Quadrat die grösste Fläche hat. Schließlich sind das Aufstellen und Einräumen der Landschaften herausfordernde Übungen im Ordnen, Addieren und Faktorisieren arithmetischen Folgen 1. Ordnung, denn tatsächlich lässt sich jede Landschaft zu einem einzigen großen Quader zusammenfügen.

Der Walti-Bräm-Verlag wird die Plus- und Mallandschaft in sein Sortiment aufnehmen:
Link zum Walti-Bräm-Verlag