, Prof. Dr. Elmar Cohors-Fresenborg

MATHEMATIK ALS WERKZEUG ZUR WISSENSREPRÄSENTATION
Eine neue Sicht der Schulmathematik

Elmar Cohors-Fresenborg
Universität Osnabrück, Fachbereich Mathematik / Informatik,
Arbeitsgruppe Mathematische und Psychologische Grundlagen in der Mathematikdidaktik

Erweiterte Fassung des Vortragsmanuskriptes (Cohors-Fresenborg, 1996),
präsentiert auf dem 7. Internationalen Symposium zur "Didaktik der Mathematik",
Klagenfurt vom 26.-30.09.1994.

Liste
der in den Schulversuchen IAA und MSW
erstellten Textbücher für Schüler und Handbücher für Lehrer.

1.	Ausgangslage und Perspektiven
2.	Kognitionstheoretischer Standpunkt
3.	Intendierte Veränderungen Funktionenframe Vertragswerkeframe
4.	Zusammenfassung
5.	Erprobungsschulen
6.	Literatur

Eine Standortbestimmung und Formulierung für Perspektiven für den gymnasialen Mathematikunterricht des ausgehenden Jahrhunderts werden von ganz unterschiedlichen Ansätzen her unternommen. Auf der Ebene der inhaltlichen Ausrichtung wird eine Modernisierung des Unterrichtsstoffs diskutiert, dabei können Kriterien der Entscheidungsfindung sowohl aus der innermathematischen Entwicklung als auch von der gesellschaftlichen Nachfrage der Absolventen von Schulabgängern kommen. Einen anderen Aspekt greift die permanente Diskussion auf, welche die Gewichte zwischen rein mathematischen Überlegungen mit dem Ziel einer Wissenschaftspropädeutik und der Anwendbarkeit und Anwendungsorientierung von Schulmathematik beschäftigt. Befragungen von Abnehmern der Schulabsolventen nach notwendigen Ausbildungsinhalten am Gymnasium führen oft zu einer Reproduktion der selbst als Schüler erlebten Schulmathematik. In den letzten 20 Jahren brachte die Verfügbarkeit von Computertechnologie - sowohl in der Wissenschaft und im späteren Arbeitsplatz als auch in Form von preiswerten Geräten für die Hand des Schülers - einen neuartigen Impuls, der viele der vorher genannten Aspekte ebenfalls berührte. Ein in letzter Zeit interessant gewordenes Spezialproblem des Computereinsatzes ist darin zu sehen, daß durch Formelmanipulationssysteme viele Fertigkeiten, die im Algebraunterricht der Mittelstufe und unter dem Stichwort "Kurvendiskussion" im Analysisunterricht der Oberstufe erworbenen Fertigkeiten nur noch einen sehr geringen gesellschaftlichen Marktwert haben, weil Softwaresysteme Leistungen erbringen, die z. B. bisher in erstaunlich großem Umfang in der Abiturprüfung Ausweis für das erfolgreiche Absolvieren gymnasialen Unterrichtes sind (Schnegelberger & Wynands, 1990).

Grundsatzdiskussionen über die Rolle des Mathematikunterrichts an einer allgemeinbildenden Schule sind nicht losgelöst von bildungstheoretischen Überlegungen zu führen. Es wird eigentlich in allen Diskussionen nicht angezweifelt, daß Mathematik - in welcher Ausprägung auch immer - einen wesentlichen Beitrag zu einer sogenannten "formalen Bildung" leistet. Neben der Diskussion unter dem Aspekt von Zielsetzungen kann man die Augen nicht davor verschließen, daß das Ausmaß des Verständnisses von Mathematik trotz des hohen Anteils am Zeitbudget der Schüler sehr gering ist. Es sind Zweifel angebracht, ob die Erneuerungungsvorschläge aus der Mathematikdidaktik in den letzten zwanzig Jahren daran viel geändert haben (vgl. z. B. Sjuts, 1992). Bemühungen um eine Veränderung und Verbesserung des Mathematikunterrichtes erhalten auch unter dem Aspekt der internationalen Vergleichsstudie TIMSS eine drängende Notwendigkeit.

Im folgenden soll die Diskussion um einen Aspekt erweitert werden, der einerseits die Denkprozesse der Schüler zum Ausgangspunkt der Überlegungen macht und andererseits auch versucht, aus einer kognitionstheoretischen Analyse der Anwendungssituation von Mathematik Entscheidungshilfen für eine Neugestaltung des gymnasialen Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe I zu erhalten. Bei der geforderten Neuorientierung geht es um Akzentverschiebungen in der inhaltlichen Ausrichtung, besonders aber um eine methodische Neuorientierung, basierend auf einem anderen Selbstverständnis des Erwerbs von mathematischem Wissen und Verstehen. Der gymnasiale Mathematikunterricht muß verstärkt darauf ausgerichtet werden, in den Köpfen der Schüler tragfähige Modellvorstellungen aufzubauen, sowohl über den innermathematischen "Betrieb" als auch über den Prozeß der Abstraktion von Begriffen aus umgangssprachlichem Text und der Interpretation von abstrakter Mathematik durch konkrete Situationen.

Wir wollen im folgenden Schulmathematik unter dem Aspekt analysieren, daß sie geistige Werkzeuge zur präzisen Darstellung intuitiv vorhandenen Wissens liefert mit dem Ziel, daß inhaltsgebundene logische Argumentationen weitgehend durch inhaltsinvariante Verfahren ersetzt werden können. In allen Altersstufen und Schulformen gehört es zum Mathematikunterricht, daß nach dem Erarbeiten und Einüben von Algorithmen in sogenannten Textaufgaben oder Anwendungsaufgaben gezeigt werden soll, daß die erworbenen Begriffe und Verfahren auch für die Mathematisierung von realen Situationen genutzt werden können. Es ist bekannt, daß schwächere Schüler gerade auch an der dazu notwendigen Aufgabe der Mathematisierung scheitern. Dieses gilt insbesondere dann, wenn für den Ansatz mathematische Begriffe oder Paradigmen herangezogen werden müssen, die nicht Gegenstand des unmittelbar vorhergehenden Übungsprozesses im Unterricht waren. Es ist um so erstaunlicher, daß nur sehr selten die für diese Mathematisierung erforderlichen kognitiven Prozesse der Abstraktion und formalen Repräsentation von (in umgangssprachlich formuliertem Text) vorhandenem Wissen explizit Unterrichtsgegenstand ist. Eine konsequente Technik der Formalisierung in Form von Ausdrücken von Prädikaten und Funktionstermen mehrerer Veränderlicher gilt als nicht machbar ("gräßlich formal") und für den erfolgreichen Mathematiker offensichtlich auch als nicht notwendig. Dieses wichtige Bindeglied zwischen abstrakt vorhandener Mathematik und einer Lösung erwartenden Sachsituation wird also im Regelfall nicht einer professionellen Analyse unterzogen mit dem Ziel, gerade für dieses offenkundig schwierige Geschäft leistungsfähige geistige Werkzeuge auszubilden und deren Einsatz zu trainieren.

Ein Blick auf die Anwendungssituation von Mathematik und Informatik in der Wirtschaft zeigt nun, daß z. B. rund um die Technologie "Expertensysteme" Schwierigkeiten von Weiterentwicklung und Einsatz erheblich davon bestimmt werden, daß der Transfer von umgangssprachlich codiertem intuitivem Wissen in formal repräsentierbares Wissen überhaupt nicht trivial ist, sondern im Gegenteil diese Aufgabe für sogenannte Wissensingenieure zunehmend in den Mittelpunkt des Interesses rückt. Die Schwierigkeit der Bedeutungsfindung und Abstraktion von Wissen aus Text ist auch das Nadelöhr, welches zur Zeit sich bei der Konstruktion von wissensverarbeitenden Systemen mit natürlich-sprachlicher Schnittstelle - sei es im Bereich des automatischen Übersetzens oder der natürlich-sprachlichen Kommandosteuerung - gegeben sind. Man könnte diese Situation so zuspitzen, daß nach einer euphorischen Phase, in der Hardwareentwicklung und Programmiersprachen im Vordergrund des Interesses standen, nun die alte geisteswissenschaftliche Frage, was ist wesentlich in einem Text, wieder ins Zentrum rückt. Es scheint uns daher angemessen, die oben geforderte Bereitstellung von kognitiven Werkzeugen zur formalen Wissensrepräsentation zu einem durchgängigen Thema des gymnasialen Mathematikunterrichts zu machen.

Eine kognitionstheoretische Ausrichtung des Mathematikunterrichts bedeutet auch, daß den kognitiven Mechanismen bei der Konstruktion mathematischen Wissens in den Köpfen der Schüler und dem Prozeß der Wissensverwendung größere Aufmerksamkeit geschenkt werden muß. Die von Davis & McKnight (1979) in die kognitiv orientierte Mathematikdidaktik eingeführte Beschreibung des mathematischen Schülerwissens mit den Begriffen "frame" und "procedure" gibt Anlaß, nach grundlegenden Frames und Prozeduren zu suchen, die als Teile eines mathematischen kognitiven Betriebssystems im gymnasialen Anfangsunterricht vorrangig in den Köpfen der Schüler aufgebaut und deren Zusammenwirken für den Schüler bewußt eingefahren werden müssen (vgl. Kaune, 1995). Dabei sind insbesondere die von Schwank (1986, 1996) herausgearbeiteten und experimentell untersuchten individuellen Unterschiede in den kognitiven Strukturen - prädikativ versus funktional - zu berücksichtigen.

Die im folgenden vorgestellten Ideen sind Ergebnisse aus den Erfahrungen des Schulversuchs "Integration algorithmischer und axiomatischer Denkweisen in den gymnasialen Mathematikunterricht der Klassen 7 und 8 (IAA)", welcher unter unserer Leitung von 1987 bis 1993 als Schulversuch an mehreren niedersächsischen Gymnasien durchgeführt worden ist (vgl. die Aufsätze in Heft 3, Der Mathematikunterricht, 1993). Aufgrund der guten Erfahrungen mit diesen Ansätzen hat das Niedersächsische Kultusministerium von 1993 bis 1995 einen weiteren Schulversuch "Mathematik als Sprache zur präzisen Darstellung von Wissen (MSW)" genehmigt, bei dem für die Klassen 9 und 10 gezeigt werden sollte, wie die erfolgreichen Ansätze der Klassen 7 und 8 zu einem Gesamtkonzept für die Sekundarstufe I entwickelt werden können. Dabei ist hervorzuheben, daß die durchgeführten Änderungen im Mathematikunterricht so angelegt sind, daß alle Inhalte der zur Zeit gültigen Rahmenrichtlinien für das Fach Mathematik alle Gegenstand des neu konzipierten Unterrichtes sind. Hieran wird insbesondere deutlich, daß stofflich orientierte Reformen nicht der Angelpunkt für eine Neuorientierung des Mathematikunterrichtes sein können. (Liste der in den Schulversuchen IAA und MSW erstellten Textbücher für Schüler und Handbücher für Lehrer)

In den Mittelpunkt unserer konzeptionellen Arbeit haben wir den Aufbau eines kognitiven mathematischen Betriebssystems in den Köpfen der Schüler gestellt. Dessen wesentliche Bestandteile sind der Funktionenframe und der Vertragswerkeframe mit geeigneten angehängten Prozeduren. Beide Frames sind über den Frame "formale Repräsentation intuitiven Wissens" miteinander verbunden. Dieses setzt bei den unterrichtenden Lehrern eine grundsätzliche Neubewertung des Stellenwertes von Metakognition über die Rolle der Sprache (vgl. Frauenknecht, 1993) und von Formalisierung (vgl. Kaune, 1995) im Mathematikunterricht voraus.

Der Begriff der Funktion mehrerer Veränderlicher ist zu einem zentralen Frame auszubauen. Damit ist sowohl die semantische Dimension gefordert, welche für den Schüler das begriffliche Ausdrucksmittel bereitstellt, sein Empfinden über die Komplexität einer Situation zu versprachlichen, als auch die formale Dimension, die es dem Schüler gestattet, sowohl seine Ideen formal zu repräsentieren als auch durch Analyse der formalen Repräsentation Ansatzpunkte für noch zu klärende semantische Fragen zu liefern. Metaphorisch gesprochen soll dieses Werkzeug "Funktion mehrerer Veränderlicher" wie eine geistige Schnittstelle zwischen intuitiv wahrgenommener und verstandener Welt und abstrakter, anwendungsorientierter Mathematik sein (vgl. Kaune, 1995). Es ist selbstverständlich, daß eine solche "Schnittstelle" ständiger Pflege und Wartung bedarf und daß mit steigenden Anforderungen auch ein Ausbau dieser Schnittstelle vorzunehmen ist.

Empirische Forschungen (vgl. auch Schwank, 1993) haben Wege aufgezeigt, wie die Verankerung des Funktionenframes unter Berücksichtigung unterschiedlicher kognitiver Strukturen in den Köpfen der Schüler erfolgen kann. Sie sind Ausgangspunkt eines Textbuches für Schüler (Cohors-Fresenborg & Kaune & Griep, 1995). Unterrichtserfahrungen (vgl. Sjuts, 1993 und Hoffmann, 1993) haben gezeigt, daß am Ende von Klasse 7 eine erfolgreiche Weichenstellung erfolgt sein kann.

Als Thema der inhaltichen Ausrichtung des Mathematikunterrichts der gesamten Sekundarstufe I läßt sich dann formulieren, daß für immer kompliziertere Funktionen mathematisch präzise Begriffsbildungen erfolgen und auch Algorithmen für die Berechnung von Funktionswerten bereitgestellt werden. Bei der Frage der Repräsentation des mathematischen Begriffs ist dabei nicht nur die algebraische Variante zu pflegen, sondern insbesondere auch grafische Repräsentationen, was bei Funktionen mehrerer Veränderlicher Computerunterstützung als sehr nützlich erscheinen läßt. Die Frage, wieviel Algorithmen zur Wertermittlung und Formelmanipulationen zu welchem Zeitpunkt noch "zu Fuß" erarbeitet werden müssen oder aber durch Benutzen von Software erledigt werden können, ist dabei im Einzelfall auszubalancieren. Urteilsfähigkeit über Fehler oder falsche Benutzung sind nur möglich, wenn auch prinzipielle Erfahrung - ein Künstler würde sagen "Materialgefühl" - vorhanden ist.

In einem gymnasial verstandenen Mathematikunterricht, der insbesondere auch Freude an der Theorie und Fähigkeit zu ihrer Benutzung vermitteln soll, ist ein Verzicht auf ein tiefes Verständnis der eigentlich theoretisch-mathematischen Begriffsbildung Oberhaupt nicht denkbar. Der Zugang ergibt sich bei unserem Ansatz mühelos durch die Frage, was denn mit den intuitiv vorhandenen mathematischen Begriffen eigentlich gemeint ist: Der kognitionstheoretische Anspruch muß sich nur auf die Mathematik selbst wenden. Es ist klar, daß damit Fragen der Metamathematik, der Begriffsbildung in Axiomensystemen und der Natur von präzisen expliziten Definitionen und Beweisen unverzichtbarer Bestandteil des Unterrichts werden. Es ist gelungen, durch die Bereitstellung einer geeigneten Mikrowelt (Cohors-Fresenborg & Griep & Kaune, 1992) schon Schülern in Klasse 8 hierfür eine auf lange Zeit tragfähige Rahmenvorstellung zu geben. Die Mikrowelt "Vertragswerke für den Umgang mit Zahlen" liefert dann einen Frame, welcher das Verständnis und die Einsortierung für die im Rahmen der üblichen Schulmathematik notwendigen Begriffsbildungen im Bereich von Zahlbereichserweiterungen, Termumformungen, Gleichungslehre und die Methodik des Beweisens auf eine einheitliche Grundlage stellt. Auch die Wahrscheinlichkeitsrechnung paßt in diesen Rahmen: Sie ist ein Vertragswerk zum präzisen Reden über das Ungewisse (Cohors-Fresenborg & Kaune & Griep, 1994).

Das Paradigma des Aufbaus eines kognitiven mathematischen Betriebssystems in den Köpfen der Schüler als vorrangiges Ziel eines gymnasialen mathematischen Anfangsunterrichtes gibt der Curriculumdiskussion eine neue Leitlinie. Die kognitionstheoretische Ausrichtung des Mathematikunterrichts ermöglicht es, die beiden Aspekte einer zunächst in sich selbst ruhenden Mathematik und einer Mathematik als Hilfsmittel zur Beantwortung von Fragen aus der Realität zu einem einheitlichen Konzept verschmelzen zu lassen: In weiten Teilen ist der methodische Ansatzpunkt, intuitiv vorhandenes Wissen zu präzisieren und zu formalisieren, nicht daran gebunden, ob es sich um innermathematisches Wissen handelt oder um Wissen aus sogenannten Sachsituationen. Auch die Methoden der Wissensverarbeitung sind nicht so weit auseinander, wie ein Beispiel aus dem Bereich der Expertensysteme zeigt: Die Methoden zum automatischen Beweisen unterscheiden sich nicht wesentlich von denen zur Generierung von Wissen in Expertensystemen. Dieser vorgeschlagene Ansatz bietet auch eine Chance, um die Interdisziplinarität von Mathematikunterricht, insbesondere zu den Geisteswissenschaften hin, neu zu beleben. Verständnis von durch Text gegebenem intuitivem Wissen ist eine zentrale Frage dieser Fächer. Der Mathematik kommt dabei der Teil zu, das intuitive Wissen durch Präzisierung (d. h. durch Abschneiden) soweit zuzuschneiden, daß eine kontextfreie Bearbeitung durch Formelmanipulation und Rechnen möglich ist (vgl. auch Cohors-Fresenborg & Kaune & Griep, 1998).

Folgende Schulen arbeiten auch nach Auslaufen der Schulversuche IAA und MSW nach dem darin erprobten Konzept: