Schulversuch
des Niedersächsischen Kultusministeriums
 Integration algorithmischer und axiomatischer Denkweisen in den gymnasialen Mathematikunterricht der Klassen 7/8 als Beitrag zur informations- und kommunikationstechnologischen Bildung"
IAA

 

Wissenschaftliche Begleitung
Prof. Dr. Elmar Cohors-Fresenborg
StR' Dr. Christa Kaune
StR' Mathilde Griep

Universität Osnabrück
Mathematikdidaktik - Kognitionswissenschaft
 

 

Inhalt


 

1.

Organisatorische Rahmenbedingungen

2.

Inhaltlicher Ablauf

2.1

Abfolge der Unterrichtsreihen in der Klassenstufe 7

2.2

Abfolge der Unterrichtsreihen in der Klassenstufe 8

3.

Leitidee: Aufbau von Modellvorstellungen

4.

Zu den erstellten Textbüchern und didaktischen Materialien

5.

Literatur


 

 

1. Organisatorische Rahmenbedingungen

 

Mit dem Schuljahr 1984/85 begann das Niedersächsische Kultusministerium das Vorhaben "Neue Technologien und Schule", das sich auf zwei bildungspolitischen Vorgaben gründete [3, S. 20f]: Die erste Vorgabe bildete die Grundsatzentscheidung, die Behandlung der Neuen Technologien im Unterricht der Schulen zu berücksichtigen, die zweite das "Rahmenkonzept für die informationstechnische Bildung in Schule und Ausbildung". Es handelte sich dabei um Modellversuche, die von der BLK gefördert wurden.
Entsprechend dem integrativen Ansatz [3, S.13f] waren alle Unterrichtsfächer aufgerufen, ihren spezifischen Beitrag zu leisten, so auch das Fach Mathematik [4]. Außer diesen auf die Fächer bezogenen Modellversuchen gab es noch weitere. Dazu zählt auch der Modellversuch "Integration algorithmischer und axiomatischer Denkweisen in den gymnasialen Mathematikunterricht der Klassen 7/8 als Beitrag zur informations- und kommunikationstechnologischen Bildung" (IAA), dessen unterrichtliche Erprobung im Schuljahr 1987/88 begann.
Mit diesem Modellversuch sollte untersucht werden,

"welche Perspektiven sich aus einer an der Kognitionswissenschaft orientierten Facette von Mathematik für die Rolle des Unterrichtsfachs Mathematik im Rahmen der informations- und kommunikationstechnologischen Bildung ergeben.
Das Ziel des didaktischen Ansatzes ist der Aufbau von geeigneten mentalen Modellen über

  • zentrale Ideen des Algorithmenbegriffs und seine sprachliche Darstellung für Computer sowie
  • Axiomatisierung als einem Paradigma der formalen Repräsentation intuitiven Wissens.

 Diese Modellvorstellungen sollen als Ordnungsprinzipien fungieren, welche es den Schülerinnen und Schülern ermöglichen, Inhalte, die für sie neu sind, als strukturiertes Wissen einzusortieren.
Dabei dient der Funktionsbegriff der Verknüpfung informations- und kommunikationstechnologischer Bildung mit klassischen mathematischen Inhalten, indem seine Aspekte

  • Denken in funktionalen Zusammenhängen und
  • sichere Handhabung der Schnittstelle funktionaler Darstellungen

 hervorgehoben werden." [4, S.34]

Bis 1992 sollte auf der Grundlage von Ergebnissen mathematikdidaktischer Untersuchungen über individuelle Unterschiede in den kognitiven Strukturen und kognitiven Strategien von Schülern [6] ein Curriculum erstellt und erprobt werden, das die Rolle der Wissenschaft Mathematik als Grundlagendisziplin der Informations- und Kommunikationstechnologien angemessen berücksichtigt [4, S.34].

Ziel dieses Versuches war es also, die geistige Ausrichtung im Fach Mathematik neueren wissenschaftlichen Erkenntnissen anzugleichen und die Unterrichtsmethoden im Fach Mathematik vor dem Hintergrund neuer Technologien zu modernisieren. Neben der Vermittlung einer informationstechnologischen Grundbildung, soweit sie aus der Perspektive des Schulfaches Mathematik geleistet werden soll, war es ein weiteres Ziel, die weltweit bekannten Schwierigkeiten von Schülern beim Umgang mit formaler Mathematik wie Gleichungslehre und Termumformungen zu vermindern.
Während der detaillierten Arbeit am Konzept und der unterrichtlichen Erprobung hat sich eine Gewichtsverlagerung ergeben: Zur Leitidee wurde die Auffassung von der Mathematik als einer universellen Sprache zur präzisen Darstellung intuitiven Wissens. (Mathematik als Werkzeug zur Wissensrepräsentation [1]) Fortan wurde die informationstechnologische Bildung unter dieser Leitlinie subsumiert, und der Nutzen für eine Neustrukturierung des algebraischen Teils der Schulmathematik in der Sekundarstufe I trat immer deutlicher zutage. Dabei zeigte sich, daß der algorithmische und der axiomatische Teil zwei Fundamente bilden, auf denen sich die übrige Schulmathematik aufbauen läßt.
Das Konzept, das seit 1982 in Kooperation zwischen dem Gymnasium Bad Iburg und der Arbeitsgruppe von Prof. Dr. Elmar Cohors-Fresenborg an der Universität Osnabrück entwickelt und in Teilen unterrichtlich erprobt worden war, wurde während der fünfjährigen Dauer des Versuchs mit nahezu tausend Schülern an den Gymnasien Bad Iburg, Am Treckfahrtstief/Emden, Haren, Ubbo-Emmius/Leer, Wilhelm Raabe/Lüneburg erprobt. An keiner der beteiligten Schulen sind die Schüler besonders für diese Klassen ausgewählt worden. An einigen Schulen sind alle Klassen der entsprechenden Jahrgänge beteiligt gewesen. Die Zusammensetzung der einzelnen Klassen erfolgte jeweils nach den üblichen schulorganisatorischen Grundsätzen.

Nach Abschluß des Versuches teilte das Kultusministerium den am Versuch beteiligten Schulen mit, daß es in seinem Interesse liege, wenn die positiven Erfahrungen des Schulversuches weiterhin an den Schulen genutzt würden. Daraufhin haben mehrere Gymnasien, auch solche, die nicht offiziell am Schulversuch beteiligt waren, beschlossen, das Konzept (in allen oder aber in einigen Teilen) als ihr Schulcurriculum zu benutzen.
 

 

2. Inhaltlicher Ablauf

 

Die in der folgenden Tabelle notierte Abfolge der einzelnen Unterrichtsreihen ist eine Empfehlung, die sich nach mehreren Durchgängen als die praktikabelste erwiesen hat. In den einzelnen Schulen sind auch geringfügig veränderte Abfolgen erprobt worden, die meist durch einen Beginn in der Klassenstufe 7 mit dem Geometrieteil gekennzeichnet waren. Die Anzahl der für eine Unterrichtsreihe angegebenen Unterrichtswochen ist gerundet und bezieht sich auf das Schuljahr 1988/1989. Im Regelfall wird in den einzelnen beteiligten Schulen in der Klassenstufe 7 der Mathematikunterricht vierstündig, in der Klassenstufe 8 dreistündig ausgebracht. Die Angaben der Lernziele beziehen sich auf die zur Zeit gültigen Rahmenrichtlinien für das Fach Mathematik in Niedersachsen [5].
 

 

2.1 Abfolge der Unterrichtsreihen in der Klassenstufe 7

 

Unterrichtsreihe

Ziele der Rahmenrichtlinien

Dauer [Wochen]

Textbuch

Einführung in die Computerwelt

-----

12

Einführung in die Computerwelt mit Registermaschinen

Multilineare Funktionen

7.1.1, 8.1.1, 8.1.2

6

Einführung in die mathematische Modellbildung mit Funktionen

Antiproportionale, stückweise lineare und Exponentialfunktionen

7.1.2

3

Einführung in die mathematische Modellbildung mit Funktionen

Kongruenzabbildungen / Grundkonstruktionen

7.2.1 - 7.2.4

6

Arbeitsblätter Geometrie

Prozent- / Zinsrechnung

7.1.3

3

Einführung in die mathematische Modellbildung mit Funktionen


 

 

2.2 Abfolge der Unterrichtsreihen in der Klassenstufe 8

 

Unterrichtsreihe

Ziele der Rahmenrichtlinien

Dauer [Wochen]

Textbuch

Einführung in die axiomatische Auffassung von Mathematik

-----

5

Sätze aus dem Wüstensand und ihre Interpretationen

Rationale Zahlen

7.3.1-7.3.3

8

Vertragwerke über den Umgang mit Zahlen

Ergänzung: Multilineare Funktionen

7.1.2, 8.1.1,8.1.2

5

Einführung in die mathematische Modellbildung mit Funktionen

Kongruenzsätze / Maßbestimmungen

8.3.1-8.3.3

4

Arbeitsblätter Geometrie

Lineare Gleichungen und Ungleichungen

8.2.1-8.2.3

8

Vertragswerke über den Umgang mit Zahlen

Häufigkeit / Wahrscheinlichkeit und mehrstufige Zufallsexperimente

7.4.1, 7.4.2, 8.4.1, 8.4.2

4

Rechnen mit dem Ungewissen

Bei einer aufmerksamen Analyse der obenstehenden Tabellen fällt auf, daß in der Klassenstufe 7 mit der Behandlung der Unterrichtsreihe "Einführung in die Computerwelt" und in der Klassenstufe 8 mit einer Unterrichtsreihe "Einführung in die axiomatische Auffassung von Mathematik" 17 Unterrichtswochen (von insgesamt 64 Unterrichtswochen) für zwei Themenbereiche reserviert werden, deren Behandlung die Rahmenrichtlinien in Niedersachsen nicht vorschreiben. Dies mag dem erfahrenen Kollegen unglaublich erscheinen, zumal gleichzeitig behauptet wird, daß alle in den Rahmenrichtlinien vorgeschriebenen Inhalte mit Erfolg behandelt worden sind. Dabei ist nach unserer Auffassung das Problem der Stoffülle nicht das zentrale Problem.
Über die Inhalte der beiden Unterrichtsreihen und ihren Stellenwert innerhalb des Curriculums findet man Aufsätze im Heft 3/1993 der Zeitschrift Der Mathematikunterricht

.

 

3. Leitidee: Aufbau von Modellvorstellungen

 

Der zentrale Unterschied in der Vorgehensweise ist darin zu suchen, daß unser Konzept nicht stoff- sondern grundlagenorientiert ist. Während die gültigen Rahmenrichtlinien es nahelegen, entsprechend der Liste der Lernziele die Unterrichtsinhalte nacheinander zu unterrichten, gehen wir anders vor. Didaktische Leitlinie ist der Aufbau von Modellvorstellungen in den beiden genannten Unterrichtsreihen, zum einen über Funktionen mehrerer Veränderlicher, zum anderen über Vertragswerke (Axiomensysteme).
Nach erfolgreicher Bearbeitung der Unterrichtsreihe "Einführung in die Computerwelt" steht den Schülern die Funktionensprache als Werkzeug zur Verfügung [2]. Dies beinhaltet die souveräne Handhabung des mathematischen Formalismus von Funktionen mehrerer Veränderlicher und des Variablenbegriffs. Dieses Handwerkzeug gestattet es, wirklichkeitsnahe Anwendungsaufgaben zu bearbeiten, deren Komplexität diejenige in herkömmlichen Schulbüchern bei weitem übersteigt. Eine Vielzahl der Aufgaben in dem Textbuch "Modellbildung mit Funktionen" belegt dies.
Nach Beendigung der Unterrichtsreihe "Sätze aus dem Wüstensand" stehen den Schülern mit den Vertragswerken mentale Modelle von Axiomensystemen zur Verfügung. Diese Vorstellungswelt wird dann anschließend in einer axiomatischen Fundierung der Zahlbereichserweiterung zu den rationalen Zahlen genutzt. Darüber hinaus leistet diese Unterrichtsreihe ein intensives Training im Umgang mit Formalisierungen. Auch dieses steht als Werkzeug, jederzeit einsetzbar in allen weiteren Unterrichtseinheiten, zur Verfügung.

Die Fähigkeiten der Schüler, mit Formalismen vom emotionalen Standpunkt aus unbefangen umzugehen, erlaubt eine einfachere Begründung der Gleichungslehre.
Die Zeit, die wir also in den Aufbau von Modellvorstellungen investieren, erscheint mit 4 Monaten Unterrichtszeit sehr hoch. Jedoch bereits in Klasse 8 ist diese Zeit schon wieder eingespart und gleichzeitig für den unterrichtenden Kollegen das drängende Problem der Stoffülle verschwunden.
 

 

4. Zu den erstellten  Textbüchern und didaktischen Materialien

 

Die Andersartigkeit des entwickelten Konzeptes machte es erforderlich, vollständig neue Textbücher für die Schüler und infolge auch umfangreiche Handbücher für die Lehrkräfte, sowie didaktische Materialien zu entwickeln. Diese sind in einer Liste zusammengestellt.
 

 

5. Literatur

 

[1]

Cohors-Fresenborg, E. (1996): Mathematik als Werkzeug zur Wissensrepräsentation, in: G. Kadunz et al. (Hrsg.), Trends und Perspektiven, S. 85-90. Wien: Hölder-Pichler-Tempsky.

[2]

Kaune, C. (1995): Der Funktionsbegriff als ein Fundament für den gymnasialen Mathematikunterricht der Sekundarstufe I, in:  H. G. Steiner & H. J. Vollrath (Hrsg.), Neue problem- und praxisbezogene Ansätze in der mathematikdidaktischen Forschung, S. 66 - 76. Köln: Aulis.

[3]

Niedersächs. Kultusministerium (Hrsg.) (1989):Neue Technologien und Allgemeinbildung, Band 1: Grundlagen und Bildungskonzept, Hannover: Berenberg.

[4]

Niedersächs. Kultusministerium (Hrsg.) (1990): Neue Technologien und Allgemeinbildung, Band 11: Mathematik. Hannover: Berenberg.

[5]

Niedersächs. Kultusministerium (Hrsg.) (1989): Rahmenrichtlinien für das Gymnasium, Klassen 7 - 10, Mathematik. Hannover: Schroedel.

[6]

Schwank, I. (1990): Zur Analyse kognitiver Strukturen algorithmischen Denkens, in: K. Haussmann & M. Reiss (Hrsg.), Mathematische Lehr-Lern-Denkprozesse, S. 31-54. Göttingen: Hogrefe.

 

Copyright: Mathematikdidaktik - Universität Osnabrück /

Letzte Änderung:08/06/98

Homepage Mathematikdidaktik
Home