Schulversuch
des Niedersächsischen Kultusministeriums
 „Mathematik als Sprache zur präzisen Darstellung von Wissen"
MSW

 

Wissenschaftliche Begleitung
Prof. Dr. Elmar Cohors-Fresenborg
StR' Dr. Christa Kaune
 StR' Mathilde Griep
 StD Johann Sjuts

 Universität Osnabrück
Mathematikdidaktik - Kognitionswissenschaft
 

 

Inhalt

 

1.

Ausgangslage und Organisation

2.

Inhalte

2.1

Klassenstufe 9

2.2

Klassenstufe 10

3.

Ausblick

4.

Zu den erstellten Textbüchern

5.

Literatur


 

 

1. Ausgangslage und Organisation

 

Der Schulversuch "Mathematik als Sprache zur präzisen Darstellung von Wissen" (MSW) ist für die Klassenstufen 9 und 10 des Gymnasiums eine Fortführung des Schulversuchs „Integration algorithmischer und axiomatischer Denkweisen in den gymnasialen Mathematikunterricht der Klassen 7/8 als Beitrag zur informations- und kommunikationstechnologischen Bildung" (IAA) des Niedersächsischen Kultusministers.

Schon nach dem ersten Durchgang von zwei Versuchsklassen des Schulversuchs IAA zeigte sich am Ende der Jahrgangsstufe 8, daß die Mehrzahl der Schulversuchsschüler ein tiefes Verständnis der fundamentalen Ideen, welche dem mathematischen Definieren und Beweisen zugrunde liegen, erworben hatten. Daran hatte die Modellvorstellung der Vertragswerke einen wichtigen Anteil. Außerdem konnten nahezu alle Schüler so souverän mit dem mathematischen Begriff der Funktion mehrerer Veränderlicher umgehen, daß es für sie ein universell einsetzbares Werkzeug wurde [3, 5]. Mit Beginn ihrer Versetzung in die Klassenstufe 9 mußten diese Schüler weitgehend mit den herkömmlichen Materialien arbeiten. Dabei entstanden u. a. folgende Probleme:
Die Schulversuchsschüler rieben sich sowohl an der an vielen Stellen für sie erkennbaren gedanklichen Inkonsistenz als auch an der Schlichtheit der Anwendungsbeispiele.
Sie waren aus den vorangegangenen zwei Jahren gewohnt, das Zustandekommen mathematischer Begriffe als Prozeß zu erfahren und zu hinterfragen; die eingeführten Schulbücher genügten in ihrem intellektuellen Zuschnitt diesen Anforderungen jedoch nicht. Dieses wurde für viele Schüler offenkundig.
Im üblichen Unterricht und in herkömmlichen Schulbüchern ist es wegen fehlender Fähigkeiten der Schüler beim Umgang mit komplexen Formalismen fast unvermeidbar, sehr einfache Beispiele und schlichte Modellierungen zu wählen. Die Konsequenz ist aber, daß dadurch bei vielen Schülern das Vorurteil verstärkt wird, Mathematik wäre für die gedankliche Bewältigung der Probleme der Welt nicht geeignet.
Sowohl die zur Verfügung stehende Zeit, als auch die Qualifikation der Lehrer reichten allein nicht aus, diesen Herausforderungen zu begegnen. Die engagierten Lehrer forderten daraufhin ein Minimum an sachlicher und personeller Unterstützung durch die wissenschaftliche Begleitung.
Daher haben einige Gymnasien rechtzeitig beim Kultusministerium beantragt, auch für die Klassenstufen 9 und 10 die erforderlichen Mittel bereitzustellen, damit die didaktische Konzeptionen weiter entwickelt werden und die Lehrer in dieser fortgebildet werden konnten. Aus der Enttäuschung heraus, daß erste Bemühungen nicht zum Erfolg führten, hatte sich am Gymnasium am Treckfahrtstief in Emden 1992 ein eingetragener, gemeinnütziger Verein von Eltern gebildet mit dem Ziel, die Weiterentwicklung der Konzepte und Fortführung ihrer schulischen Erprobung zu unterstützen. Die Tatsache, daß sich Eltern für die inhaltliche Neuorientierung des Mathematikunterrichtes ihrer Kinder so massiv engagierten, ist außergewöhnlich. Auch dies zeigt, welch hohen Grad die Akzeptanz inzwischen erreicht hatte.
Nach intensiven Bemühungen von Eltern, Schulleitern, wissenschaftlicher Begleitung und örtlichen Politikern hat das Kultusministerium schließlich den Schulversuch "Mathematik als Sprache zur präzisen Darstellung von Wissen" für die Klassen 9 und 10 genehmigt. Wegen der Finanzknappheit wurde der Schulversuch auf zwei Schulen (Gymnasium Bad Iburg und Gymnasium Am Treckfahrtstief/Emden) und dann auch nur auf einen Durchgang von 1993-95 beschränkt. Den anderen Schulen wurde vom Kultusministerium gestattet, sich ohne Bereitstellung von Entlastungsstunden für die beteiligten Lehrer an der Erprobung zu beteiligen.
Da für den Schulversuch keine Sachmittel des Kultusministeriums zur Verfügung gestellt wurden, war das gemeinsame Engagement von Eltern, Schulleitern, Lokalpolitikern und der wissenschaftlichen Begleitung gefordert. Dieses führte schließlich zur Bereitstellung finanzieller Mittel durch die Kreissparkasse Osnabrück, den Landkreis Osnabrück, den o. g. Elternverein und über diesen durch die Gerhard ten Doornkaat Koolmann-Stiftung.
 


 

2. Inhalte

 

Die Hauptaufgabe bei der Erstellung eines Curriculums für die Klassenstufen 9 und 10 bestand darin, die den Schülern vertrauten Modellvorstellungen und die bei ihnen ausgebildeten besonderen Fähigkeiten im ungezwungenen Umgang mit präziser mathematischer Sprache und Argumentationstechnik für das Unterrichten der in den Rahmenrichtlinien festgelegten Inhalte zu nutzen.
Grundsätzlich sollten (wie auch in den Klassenstufen 7/8) alle in den Rahmenrichtlinien vorgesehenen Ziele erreicht werden. Durch Fortführung der im Schulversuch IAA bewährten didaktischen Konzeption und der veränderten Unterrichtskultur sollte eine deutliche Verbesserung der Lernleistung der Schüler erreicht werden. Diese sollte sich auch darin zeigen, daß die in den Rahmenrichtlinien festgeschriebenen Inhalte in kürzerer Zeit als allgemein üblich erfolgreich unterrichtet werden konnten. Für den gewonnenen Freiraum wurden neue Unterrichtseinheiten geplant.
 


 

2.1 Klassenstufe 9

 

Durch die veränderte Fundierung der Gleichungslehre [1] im vorangegangenen Schulversuch können Gleichungssysteme in kürzerer Zeit und mit besserem Verständnis unterrichtet werden. Insbesondere sollen die Fähigkeiten der Schüler im präzisen logischen Umgang mit mathematischen Aussagen weiterentwickelt werden.
Dieses Können der Schüler wird genutzt, um ihnen in einer neu entwickelten Unterrichtsreihe [4] einen Einblick zu geben, wie Begriffsbildungs- und Definitionstechniken auch in den Rechtswissenschaften Anwendung finden. Weiter können sie in dieser Unterrichtsreihe erfahren, wie mit der Programmiersprache PROLOG das präzise logische Argumentieren zu einem logischen Rechnen entwickelt werden kann. Die Schüler erhalten damit Einblick in die Prinzipien der Konstruktion von Expertensystemen.

Das den Schülern geläufige Paradigma der Vertragswerke erlaubt eine durchsichtigere Einführung von Zahlen in Wurzeldarstellung und anschließend allgemein der reellen Zahlen. Eine zentrale Rolle für das Verständnis der Existenzproblematik von Zahlen in Wurzeldarstellung kommt einer Analyse von Kennzeichnungstermen als Namensersatz zu.
Mit dem vorhandenen tiefen Verständnis der Gleichungslehre lassen sich dann quadratische Gleichungen einsichtiger und effektiver unterrichten.
Im Bereich der Geometrie wird der Unterricht insofern verbessert, als sich durch die konsequente Nutzung des Funktionsbegriffs (mehrerer Veränderlicher) an einigen Stellen (z.B. Satzgruppe des Pythagoras, Strahlensätze) eine Vereinfachung in den Beweisen für die Schüler ergibt.
 


 

2.2 Klassenstufe 10

 

Die bei den Schülern aufgebauten Modellvorstellungen über Axiomensysteme (Vertragswerke über den Umgang mit Zahlen) erlauben eine durchsichtigere und straffere Behandlung der Potenzrechnung.
Die Verallgemeinerung von Potenzen zu zweistelligen Funktionstermen erlaubt eine Einbettung der einstelligen Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen als Spezialfälle der zweistelligen Potenzfunktion. Die Veranschaulichung als 3D-Grafik erleichtert den Schülern ein Verständnis der einstelligen Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen als Schnitte.

Die in Klasse 9 erarbeitete Technik der Definition von Namen mittels Kennzeichnungstermen wird zu einem Instrument für die Definition von Umkehrfunktionen verallgemeinert. Dies rundet auch die Behandlung der Gleichungslehre auf logischer Grundlage ab, wie sie in Klasse 8 begonnen wurde: Es handelt sich um die Anwendung von Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen auf Terme.

Der in Klasse 8 angefangene neue Zugang zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (Vertragswerk über den präzisen Umgang mit dem Ungewissen) wird fortgesetzt.

Die übrigen in den Rahmenrichtlinien vorgesehenen, aber hier nicht genannten Inhalte werden im Rahmen des Umgangs mit Funktionen mehrerer Veränderlicher unterrichtet.
 


 

3. Ausblick

 

Wegen der Erfolge der beiden Schulversuche hat das Niedersächsische Kultusministerium den an den Versuchen beteiligten Schulen gestattet, nach dem Konzept weiter zu unterrichten und die erstellten Textbücher im Rahmen der Lehrmittelfreiheit auch als Schulbücher anzuschaffen.

Das Kultusministerium hat weiter genehmigt, für den Mathematikunterricht in Klasse 11 (wird in Niedersachsen im Klassenverband erteilt) das Curriculum weiterzuentwickeln. Eine Verlängerung der wissenschaftlichen Begleitung bis zum 31.7.1996 wurde auch dazu genutzt. Es wurde ein Konzept zur Behandlung der Differentialrechnung auf der Grundlage von Stetigkeit als Approximierbarkeit (sog. Rechnerfreundlichkeit) entwickelt und ein dazu passendes Textbuch für Schüler geschrieben.
Die Erfahrung mit den beiden Schulversuchen hat zu einer neuen Sicht von Schulmathematik im Gymnasium geführt [2]: Mathematik ist ein universell einsetzbares Werkzeug zur präzisen Darstellung und Handhabung von intuitivem Wissen.
 


 

4. Zu den erstellten  Textbüchern

 

Die Andersartigkeit des entwickelten Konzeptes machte es erforderlich, umfangreiche Materialien sowohl für die Schüler als auch für die unterrichtenden Lehrkräfte zu erstellen. (vgl. Liste der in den Schulversuchen IAA und MSW erstellten Textbücher für Schüler und Handbücher für Lehrer).
 


 

5. Literatur

 

[1]

Cohors-Fresenborg, Elmar (1992): Gleichungssysteme als Werkzeug für die Formalisierung von Wissen, in: Beiträge zum Mathematikunterricht, S. 137-140. Hildesheim: Franzbecker.

[2]

Cohors-Fresenborg, Elmar (1996): Mathematik als Werkzeug zur Wissensrepräsentation - Eine neue Sicht der Schulmathematik, in: G. Kadunz et. al., Trends und Perspektiven, S. 85-90. Wien: Hölder-Pichler-Tempsky.

[3]

Kaune, Christa (1991): Die Computerwelt als Evidenzbasis zur Fundierung des algebraischen Anteils in der Schulmathematik der Sekundarstufe I, in: Beiträge zum Mathematikunterricht, S. 59-67. Hildesheim: Franzbecker.

[4]

Kaune, Christa (1993): Vom logischen Denken zum logischen Rechnen, in: Beiträge zum Mathematikunterricht, S. 237-240. Hildesheim: Franzbecker.

[5]

Kaune, Christa (1995), Der Funktionsbegriff als ein Fundament für den gymnasialen Mathematikunterricht der Sekundarstufe I, in: H.G. Steiner & H.-J. Vollrath (Hrsg.): Neue problem- und praxisbezogene Ansätze in der mathematikdidaktischen Forschung. Köln: Aulis.

 

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Letzte Änderung:08/06/98

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